Geometria - (9 cfu)

Prof. Costantino Medori Tel. 0521.906900 - Fax. 0521.906950
  E-mail. costantino.medori@unipr.it
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Finalità

Fornire allo studente gli strumenti per:
a) risolvere sistemi di equazioni lineari;
b) diagonalizzare matrici (simmetriche);
c) risolvere semplici esercizi di geometria analitica lineare nello spazio;
d) riconoscere il tipo di una conica e scrivere la sua forma canonica.

Programma

1. Spazi vettoriali reali e complessi. Sottospazi vettoriali: somma e intersezione. Combinazione lineare di vettori: dipendenza/indipendenza lineare. Generatori, basi e dimensione di una spazio vettoriale. Formula di Grassmann.

2. Determinanti: definizione tramite le formule di Laplace e proprietà fondamentali. Teorema di Binet. Operazioni elementari di riga e colonna su matrici. Calcolo della matrice inversa. Rango di una matrice.

3. Sistemi lineari. Metodo di Gauss-Jordan e teorema di Rouché Capelli.

4. Applicazioni lineari. Definizione di nucleo e di immagine; teorema fondamentale sulle applicazioni lineari. Matrice associata ad una applicazione lineare e regola di cambiamento di base. Isomorfismi e applicazioni inverse.

5. Endomorfismi di uno spazio vettoriale: autovalori, autovettori e autospazi. Polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Endomorfismi diagonalizzabili.

6. Prodotti scalari. Complemento ortogonale di un sottospazio. Processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Rappresentazione di isometrie tramite matrici ortogonali. Il gruppo ortogonale. Diagonalizzazione di matrici simmetriche: teorema spettrale. Criterio di positività per prodotti scalari: teorema di Hurewicz.

7. Elementi di geometria analitica del piano e dello spazio. Equazioni parametriche e cartesiane di una retta. Posizione reciproca di due rette; rette sghembe. Equazione di un piano. Prodotto scalare canonico e distanza. Prodotto vettore e sue proprietà fondamentali. Distanza di un punto da un piano e da una retta.

8. Coniche: proprietà elementari delle coniche. Classificazione affine e euclidea. Invarianti affini e forma canonica euclidea di una conica. Centro di simmetria ed assi.

Attività d'esercitazione

Discussione e soluzione di problemi. Esercizi saranno regolarmenti assegnati durante il semestre.

Modalità d'esame

Di norma l'esame consiste in una prova scritta.

Propedeuticità

Precorso

Testi consigliati

F. Capocasa: " Algebra e Geometria analitica ", Esculapio
A. Nannicini: " Esercizi svolti di algebra lineare ", Pitagora
Esercizi disponibili presso l'Ufficio fotocopie.

Testi d'approfondimento

L. Alessandrini and L. Nicolodi: " Geometria A ", UNI.NOVA
P. de Bartolomeis: " Algebra lineare ", La Nuova Italia
A. I. Maltsev: " Fondamenti di algebra lineare ", Pitagora
M. Nacinovich: " Elementi di geometria analitica ", Liguori


Ultimo aggiornamento: 16-07-2004


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