Geometria - (9 cfu)

Prof. Lucia Alessandrini Tel. 0521 032334 - Fax. 0521 032350
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Finalità

Fornire allo studente gli strumenti per:
a) risolvere sistemi di equazioni lineari;
b) diagonalizzare matrici (simmetriche);
c) risolvere semplici esercizi di geometria analitica lineare nello spazio;
d) operazione su vettori e matrici.

Programma

1. Spazi vettoriali reali e complessi. Sottospazi vettoriali: somma e intersezione. Combinazione lineare di vettori: dipendenza/indipendenza lineare. Generatori, basi e dimensione di una spazio vettoriale. Formula di Grassmann.

2. Determinanti: definizione tramite le formule di Laplace e proprietà fondamentali. Teorema di Binet. Operazioni elementari di riga e colonna su matrici. Calcolo della matrice inversa. Rango di una matrice.

3. Sistemi lineari. Metodo di Gauss-Jordan e teorema di Rouché Capelli.

4. Applicazioni lineari. Definizione di nucleo e di immagine; teorema fondamentale sulle applicazioni lineari. Matrice associata ad una applicazione lineare e regola di cambiamento di base. Isomorfismi e applicazioni inverse.

5. Endomorfismi di uno spazio vettoriale: autovalori, autovettori e autospazi. Polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Endomorfismi diagonalizzabili.

6. Prodotti scalari. Complemento ortogonale di un sottospazio. Processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Rappresentazione di isometrie tramite matrici ortogonali. Il gruppo ortogonale. Diagonalizzazione di matrici simmetriche: teorema spettrale. Criterio di positività per prodotti scalari. Cenni al caso complesso.

7. Elementi di geometria analitica dello spazio. Equazioni parametriche e cartesiane di una retta. Posizione reciproca di due rette; rette sghembe. Equazione di un piano. Prodotto scalare canonico e distanza. Prodotto vettore e sue proprietà fondamentali. Distanza di un punto da un piano e da una retta.

8. Complementi di algebra e/o geometria.

Modalità d'esame

L'esame consiste in una prova scritta e in una prova orale.

Propedeuticità

Precorso

Testi consigliati

F. Capocasa, C.Medori: “Algebra Lineare e Geometria Analitica”.
A. Alessandrini, L.Nicolodi: “Geometria A”.
A. Alessandrini: “Geometria B”
A. Abate, C. de Fabritiis: “Geometria analitica con elementi di algebra”


Ultimo aggiornamento: 05-10-2009


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